Условие:

Катя, Рита и Даша заняли три первых места на конкурсе чтецов. На вопрос, кто какое место занял, руководитель кружка ответил так: "Догадайтесь сами, если каждый из моих ответов неверный:"
Даша − первое;
Рита − второе;
Катя − первое или третье."

Так как каждый из ответов неверный, значит:
Катя заняла второе место (не первое и не третье);
Даша заняла третье место (не первое и не второе, которое заняла Катя);
Рита заняла первое место (оставшееся).
Ответ:
Рита − 1 место;
Катя − 2 место;
Даша − 3 место.