Решение #
1 haven't written (не писал) (Present Perfect, т.к. автору письма важен сам факт произошедшего действия, а не его время или обстоятельства)
2 have been (был) (Present Perfect, т.к. автору письма важен сам факт произошедшего действия, а не его время или обстоятельства)
3 started (начал) (Past Simple, т.к. это действие, произошедшее в прошлом, есть указатель времени "last September")
4 am studying (изучаю) (Present Continuous, т.к. действие происходит в момент речи, есть указатель времени "at the moment")
5 am going to become (собираюсь стать) (Am going to, т.к. это запланированное действие, намерение)
6 have had (имел) (Present Perfect, т.к. это действие, начавшееся в прошлом и продолжающееся по настоящее время)
7 was walking (гулял) (Past Continuous, т.к. именно данное время используется для описания действия, происходившего в прошлом(в развитии/в процессе) и прерванного другим действием)
8 ran (бежал) (Past Simple, т.к. именно данное время используется для описания краткого действия, прервавшего действие в развитии/процессе)
9 took (потребовалось) (Past Simple, т.к. это повествование/рассказ о событиях, произошедших в прошлом)
10 will write (напишу) (Will/Future Simple, т.к. это прогноз на будущее, основанный на том, что мы обещаем)