Условие:

40. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.

Доказать: геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от

которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в

середине отрезка, соединяющего данные точки;

Доказательство:

1) Пусть A и B-данные точки;

2) Выберем точку M-одну из точек, сумма квадратов расстояний, от

которых до точек A и B есть постоянная величина;

3) Отметим точку O-середину отрезка AB;

4) В треугольнике ABM отрезок MO является медианой, воспользуемся

формулой, выведенной в задаче 10.39:

MO=1/2 v(2(AM^2+BM^2)-AB^2);

4) По условию (AM^2+BM^2)-постоянная величина для любой из

выбранных точек M, значит и длина отрезка MO-постоянна;

5) По определению множество всех точек равноудаленных от точки O

является окружностью с центром в этой точке, что и требовалось

Доказать.

Развернуть