Условие:

20. Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.

I) Отобразим условие задачи:

Доказать: если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то

AS•BS=CS•DS;

Доказательство:

1) Вписанные в окружность углы DCB и DAB опираются на одну хорду DB,

значит по следствию из теоремы 11.5 эти углы равны;

2) Углы ASD и BSC равны как вертикальные;

3) Треугольники ASD и CSB подобны по двум углам, значит:

DS/BS=AS/CS, отсюда AS•BS=CS•DS, что и требовалось доказать.

II) Отобразим условие задачи:

Доказать: если из точки P к окружности проведены две секущие,

пересекающие окружность в точках A, B, C и D соответственно, то

AP•BP=CP•DP;

Доказательство:

1) Пусть точки A и C-ближайшие к точке P точки пересечения секущих

с окружностью;

2) Вписанные в окружность углы ABC и ADC опираются на одну хорду AC,

значит по следствию из теоремы 11.5 эти углы равны;

3) Треугольники PAD и PCB подобны по двум углам, значит:

PA/PC=PD/PB, отсюда PA•PB=PC•PD, что и требовалось доказать.

Развернуть