Условие:

43. Даны две окружности с радиусами R1, R2 и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел R1, R2 и d меньше суммы двух других, то окружности пересекаются в двух точках (рис. 168).

Дано: расстояние между центрами окружностей равно d, а их радиусы

равны R1 и R2, при этом R1+R2< div>

Доказать: эти окружности пересекаются в двух точках;

Решение:

1) Из неравенств, указанных в условии задачи, а также из доказанного

в задаче 7.41 следует, что существует такой треугольник ABC, у которого:

AC=R1, BC=R2 и AB=d;

2) Пусть точки A и B являются центрами данных окружностей;

3) Значит, точка C лежит на обеих окружностях, то есть является точкой

их пересечения;

4) Так как R1+R2=/=d, то AC+CB?AB, то есть точка C не лежит между

точками A и B, значит она лежит в одной из полуплоскостей относительно

прямой AB;

5) Построим углы угол ABC1 = углу ABC и угол BAC1 = углу BAC (C1-пересечение

вторых сторон этих углов) по другую от точки C;

6) Треугольники ABC и ABC1 равны по второму признаку, отсюда:

AC1=AC=R1 и BC1=BC=R2;

7) Таким образом, точка C1 также лежит на обеих окружностях, то есть

является второй точкой их пересечения, что и требовалось доказать.