Условие:

45. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали.

Доказать: ромбы равны, если их диагонали равны;

Доказательство:

1) Пусть даны ромбы ABCD и A1 B1 C1 D1, у которых диагонали равны:

AC=A1 C1 и BD=B1 D1;

2) У ромба ABCD диагонли пересекаются в точке O, а у ромба A1 B1 C1 D1

в точке O1;

3) По свойству ромба: AC перпендикулярен BD, A1 C1 перпендикулярен B1 D1, BO=OD=B1 O1=O1 D1;

4) Как было доказано в задаче 9.43 отрезки AC и A1 C1 можно совместить

движением, при этом точка A совпадет с точкой A1, а точка C-с точкой C1;

5) Тогда середина O отрезка AC совпадает с серединой O1 отрезка A1 C1;

6) Остальные вершины ромба лежат на перпендикуляре к отрезку AC,

проведенному через точку O, на расстоянии BO от этой точки;

7) Точка O разбивает этот перпендикуляр на две полупрямых, на каждой

из которых от точки O можно отложить только по одному отрезку

заданной длины, следовательно точка B совпадает с точкой B1, а точка

D-с точкой D1;

8) Таким образом, у ромбов ABCD и A1 B1 C1 D1 при движении совпадают

все вершины, значит совпадают сами ромбы, а следовательно они равны,

что и требовалось доказать.

Развернуть