Условие:

32. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника ABC (рис. 260).

Дано: в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF;

Найти: углы треугольника DEF, зная углы треугольника ABC;

Решение:

1) В предыдущей задаче было доказано, что треугольники, у которых

одна вершина общая с треугольник ABC, а двумя другими вершинами являются

основания высот, проведенных из двух других вершин треугольник ABC, подобны

треугольнику ABC, следовательно:

треугольник AEF~треугольник ABC, отсюда: угол AFE = углу C и угол AEF = углу B;

треугольник BDF~треугольник BAC, отсюда: угол BFD = углу C и угол BDF = углу A;

треугольник CDE~треугольник CBA, отсюда: угол CDE = углу A и угол CED = углу B;

2) Рассмотрим треугольник DEF:

угол D = углу CBD- угол CDE- угол BDF=180°-2угол A;

угол E = углу AEC- угол AEF- угол CED=180°-2угол B;

угол F = углу AFD- угол AFE- угол BFD=180°-2угол C;

Ответ: угол D=180°-2угол A; угол E=180°-2угол B; угол F=180°-2угол C.

Развернуть