Условие:

57. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.

Доказать: геометрическое место вершин прямых углов, которые проходят

через две данные точки, есть окружность;

Доказательство:

1) Пусть A и B-данные точки;

2) Отметим точку O-середину отрезка AB;

3) Возьмем какую-нибудь точку M, удовлетворяющую условию, тогда:

угол AMB=90°;

4) Так как AO=OB, то отрезок MO является медианой прямоугольного

треугольника AMB, опущенной на гипотенузу, тогода по доказанному

в задаче 11.53: MO=AO=OB;

5) Таким образом, расстояние MO не зависит от выбранной точки M,

значит все такие точки равноудалены от середины отрезка AB, то есть

геометрическое место этих точек является окружностью по определению,

что и требовалось доказать.

Развернуть