Условие:

11. Как изменяется сторона АВ треугольника ABC, если угол С возрастает, а длины сторон АС и ВС не меняются (рис. 272)?

Дано: треугольник ABC;

Выяснить: как изменяется сторона AB, если угол C возрастает, а длины

сторон AC и BC не меняются;

Решение:

1) Пусть a1 и a2-острые углы, при этом a1>a2;

2) При возрастании острого угла его косинус уменьшается, значит:

cosa1 < div>

3) Углы (180°-a1) и (180°-a2)-тупые, при этом:

(180°-a1)<(180°-a2), так как a1>a2;

4) (180°-a1)=-cosa1 и (180°-a2)=-cosa2 , значит:

cos(180°-a1)>cos(180°-a2), так как cosa1 < div>

То есть при возрастании тупого угла, его косинус уменьшается, но так

как он имеет отрицательный знак, то модуль косинуса увеличивается;

5) По теореме косинусов:

AB^2=BC^2+AC^2-2BC•AC•cos угла C;

6) Длины сторон BC и AC не меняются, поэтому выразим через константы:

m=BC^2+AC^2 и n=2BC•AC, при этом m>0 и n>0;

7) Тогда: AB^2=m-n•cos угла C;

8) Пусть a1 и a2- значения угла C, при этом a1>a2;

9) Если оба угла острые, тогда cosa1 < div>

положительные, значит:

m-n•cosa1 >m-n•cosa2 ;

10) Если оба угла тупые, тогда cosa1 < div>

отрицательные, значит:

m-n•cosa1 >m-n•cosa2 ;

11) Если угол a1 тупой, а угол a2 острый, тогда cosa1 -отрицательный,

а cosa2 -положительный, значит:

m-n•cosa1 >m-n•cosa2 ;

12) Таким образом, во всех случаях сторона AB будет увеличиваться;

Ответ: сторона AB увеличивается.

Развернуть