Условие:

44. Внутри окружности радиуса R расположены л равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности.

Найдите радиусы этих окружностей, если число их равно:

1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 295).

Дано: внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей,

которые касаются друг друга и данной окружности;

Найти: радиусы этих окружностей, если их число равно 1) 3; 2) 4; 3) 6;

Решение:

1) Пусть O-центр окружности радиуса R, точки O1, O2, O3…On-центры

остальных окружностей, а r-их радиусы;

2) Построим n-угольник с вершинами в точках O1, O2, O3…On;

3) Отметим точку M1 касания окружностей с центрами в точках O1 и O2;

4) Так как эти окружности касаются, то через точку M1 проходит их общая

касательная, перпендикулярная их радиусам, значит точки O1, M1 и O2

лежат на одной прямой O1 O2, то есть на стороне n- угольника, при этом:

O1 M1=O2 M1=r , значит O1 O2=2r;

5) Аналогично доказывается, что все остальные стороны n- угольника

равны 2r, а точкой касания окружностей с центрами в вершинах этих

сторон делятся пополам, в том числе:

On O1=2r, On Mn=Mn O1=r и O2 O3=2r, O2 M2=M2 O3=r;

6) Серединные перпендикуляры двух соседних сторон n-угольника

пересекаются в некоторой точке E;

7) Рассмотрим прямоугольные треугольники O1 M1 E и O1 Mn E:

O1 M1=O1 Mn=r и O1 E-общая гипотенуза, значит эти треугольники

равны, отсюда: угол M1 O1 E = углу Mn O1 E и M1 E=Mn E;

8) Аналогично доказывается, что: угол M1 O2 E = углу M2 O2 E и M2 E=M1 E;

9) В треугольнике O1 O2 E отрезок M1 E является медианой и высотой,

значит этот треугольник равнобедренный, отсюда:

угол EO1 M1 = углу M1 O2 E;

угол M1 O1 E = углу Mn O1 E = углу M1 O2 E = углу M2 O2 E;

угол On O1 O2 = углу O1 O2 O3;

10) Аналогично доказывается, что любые углы при соседних вершинах

данного n-угольника равны, а так как все его стороны равны, то он

является правильным;

11) Лучи O1 E, O2 E, …, On E являются биссектрисами n- угольника,

значит точка E-его центр;

12) Окружности с центрами в точках O1 и O касаются в некоторой точке D,

значит через эту точку проходит их общая касательная, перпендикулярная

их радиусам, следовательно точки O1, D и O лежат на одной прямой OD:

OD=R и O1 D=r, тогда O1 O=OD-O1 D=R-r;

13) Аналогично доказывается, что все остальные точки O1, O2, O3, …, On

удалены от точки O на расстояние (R-r), следовательно точка O

совпадает с точкой E;

14) Радиус окружности, описанной около n-угольника:

OO1=an/(2•sin(180°)/n?)=2r/(2•sin(180°)/n?)=r/sin(180°)/n? ;

15) Найдем радиус окружностей с центрами в точках O1, O2, …, On

Развернуть