Условие:

50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?

Дано: через середину высоты треугольника проведена прямая,

перпендикулярная к ней;

Найти: в каком отношении эта прямая делит площадь треугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABC-данный треугольник, BH-высота и точка M-середина

высоты BH, тогда по условию задачи: BM/BH=1/2;

2) Отметим точки E и F на пересечении данной прямой со сторонами

треугольника ABC;

3) BH перпендикулярен AC и BH перпендикулярен EF, значит EF||AC;

4) Рассмотрим параллельные прямые EF||AC и секущую AB:

угол BAC=угол BEF (как соответственные углы);

5) треугольник ABH ~ треугольник EMB по двум углам (угол B-общий и угол H=угол M=90°), значит:

EB/AB=BM/BH=1/2;

6) треугольник ABC ~ треугольник EFB по двум углам (угол B-общий и угол BAC=угол BEF), значит:

BF/BC=EB/AB=1/2;

7) Значит площади этих треугольников относятся как:

SEFB/SABC =(BF/BC)^2=(1/2)^2=1/4;

Ответ: 1:4.

Развернуть