Условие:

4.160. Прямоугольный параллелепипед (рис.93) состоит из двух частей.

а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?

б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и его частей? Объясните почему.

а) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: длины, ширины и высоты.

Тогда, объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 12 см будет равен:

V=10•7•12=10•84=840 (см^3 ).

Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 8 см, то есть объём первой (фиолетовой) части, будет равен:

V_1=10•7•8=10•56=560 (см^3 ).

Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 4 см, то есть объём второй (зелёной) части, будет равен:

V_2=10•7•4=10•28=280 (см^3 ).

Теперь находим сумму объёмов первой и второй частей, получим:

V_1+V_2=560+280=840 (см^3).

Итак, объём параллелепипеда V=840 см^3 и сумма объёмов его частей V_1+V_2=840 см^3.

Значит, объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей, то есть V=V_1+V_2.

б) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней.

Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники.

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.

При этом в прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани равны, значит, имеют одинаковые площади.

Следовательно, достаточно найти площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда и умножить их сумму на 2.

Тогда, площадь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 12 см будет равен:

S=2•(10•7+10•12+7•12)=2•(70+120+84)=2•274=548 (см^2 ).

Площадь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 8 см, то есть площадь первой (фиолетовой) части, будет равна:

S_1=2•(10•7+10•8+7•8)=2•(70+80+56)=2•206=412 (см^2 ).

Площадь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 4 см, то есть площадь второй (зелёной) части, будет равна:

S_2=2•(10•7+10•4+7•4)=2•(70+40+28)=2•138=276 (см^2 ).

Теперь находим сумму площадей поверхностей первой и второй частей, получим:

S_1+S_2=412+276=688 (см^2).

Итак, площадь поверхности параллелепипеда S=548 см^2, а сумма площадей поверхностей его частей S_1+S_2=688 см^2.

Значит, площадь поверхности параллелепипеда меньше суммы площадей поверхностей его частей, так как 548 см^2<688 см^2, то есть S?S_1+S_2.

Это можно объяснить тем, что при разделении параллелепипеда на части, количество граней увеличивается, соответственно увеличивается и площадь поверхности, так как площадь поверхности равна сумме площадей всех граней.

Развернуть