Решение #
1 to get on (ладить, инфинитив, т.к. глагол manage всегда требует после себя инфинитив)
2 to help (помочь, инфинитив, т.к. глагол offer всегда требует после себя инфинитив)
3 doing (делая, герундий, т.к. глагол deny всегда требует после себя герундий)
4 helping (помогая, герундий, т.к. выражение don't mind всегда требует после себя герундий)
5 playing (играя, герундий, т.к. глагол avoid всегда требует после себя герундий)
6 do (делать, инфинитив, т.к. глагол make в значении "заставить" всегда требует после себя инфинитив БЕЗ частицы to)
7 borrow (брать, инфинитив, т.к. глагол let в значении "позволять" всегда требует после себя инфинитив БЕЗ частицы to)
8 asking (спрашивать, герундий, т.к. предлог without всегда требует после себя герундий)
9 having (иметь, герундий, т.к. предлог after всегда требует после себя герундий)
10 to do (делать, инфинитив, т.к. глагол promise всегда требует после себя инфинитив)