Условие:

7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Доказать: если медиана и углы, на которые медиана разбивает

угол треугольника равны, то два треугольники равны;

Доказательство:

1) Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1 равны медианы AM и A1 M1,

а также угол BAM = углу B1 A1 M1 и угол CAM = углу C1 A1 M1;

2) На прямой AM в полуплоскости противоположной той, в которой

лежит отрезок AM, относительно прямой BC отложим отрезок MK,

равный отрезку AM;

3) Углы BMK и AMC равны как вертикальные;

4) AM медиана треугольника ABC, значит BM=MC;

5) Треугольники AMC и BMK равны по первому признаку, значит

BK=AC и угол MKB = углу MAC;

6) Аналогичные построения проведем для треугольник A1 B1 M1, тогда

треугольник A1 M1 C1=треугольник B1 M1 K1, отсюда B1 K1=A1 C1 и угол M1 K1 B1 = углу M1 A1 C1;

7) Так как AM=A1 M1, то AK=2AM=2A1 M1=A1 K1;

8) угол MKB = углу MAC = углу C1 A1 M1 = углу M1 K1 B1;

9) Таким образом, треугольники ABK и A1 B1 K1 равны по второму

признаку, значит AB=A1 B1 и B1 K1=BK, отсюда AC=A1 C1;

10) угол ABC = углу BAM+ угол MAC = углу B1 A1 M1+ угол M1 A1 C1 = углу A1 B1 C1;

11) Следовательно, треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по первому

признаку, что и требовалось доказать.

Развернуть