Условие:

18. 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.

2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.

Доказать: середины сторон равнобедренного треугольника являются

вершинами сторон равнобедренного треугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник с основанием AC, тогда

AB=BC и угол BAC = углу BCA;

2) Отметим точки A1, B1 и C1-середины сторон BC, CA и AB, тогда:

AB1=B1 C и AC1=C1 B=A1 B=A1 C;

3) Треугольники AC1 B1 и CA1 B1 равны по первому признаку, значит

C1 B1=B1 A1, то есть треугольник A1 C1 B1-равнобедренный, что и

требовалось доказать.

2) Отобразим условие задачи:

Доказать: середины сторон равностороннего треугольника являются

вершинами сторон равностороннего треугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABC-равносторонний треугольник с основанием, тогда

AB=BC=CA и угол BAC = углу BCA = углу CBA (по доказанному в задаче 12);

2) Отметим точки A1, B1 и C1-середины сторон BC, CA и AB, тогда:

AB1=B1 C=CA1=A1 B=BC1=C1 A;

3) Треугольники B1 C1 A, B1 A1 C и C1 A1 B равны по первому признаку,

значит A1 B1=B1 C1=C1 A1, то есть треугольник A1 B1 C1-равносторонний, что и

требовалось доказать.

Развернуть