Условие:

9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Доказать: центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой

пересечения его биссектрис;

Доказательство:

1) Пусть ABC-данный треугольник, точка O-центр вписанной в

него окружности, а точки D, E и F-точки касания окружностей со

сторонами;

2) Так как касательные перпендикулярны радиусу.проведенному к

точке касания, то угол AEO = углу BDO = углу CFO=90°;

3) Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и

катету (AO-общая гипотенуза и OD=OE как радиусы), отсюда

угол OAD = углу OAE, то есть точка O лежит на биссектрисе угла CAB;

4) Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов

угол ACB и угол CBA, то есть она является точкой пересечения биссектрис

треугольника ABC, что и требовалось доказать.

Развернуть