Условие:

45. В квадрат (рис. 146) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

Дано: в квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне

квадрата лежит одна вершина прямоугольника, а стороны прямоу-

гольника параллельны диагоналям квадрата; одна сторона прямоу-

гольника вдвое больше другой; диагональ квадрата равна 12 м;

Найти: стороны прямоугольника;

Решение:

1) Пусть ABCD-данный квадрат, EFGH-вписанный в него прямоу-

гольник, а M, K-точки пересечения диагонали AC и сторон EFGH;

2) По свойтсвам квадрата:

угол FAK = углу KAE = углу GCM = углу MCH (так как AC-биссектриса угол A и угол C);

AC перпендикулярен BD, а так как GH||BD (по условию), то AC перпендикулярен GH;

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник GCH:

MC-высота и биссектриса, следовательно треугольник GCH-равнобедренный

с основанием GH, отсюда MG=MC=MH;

4) Аналогично для треугольник FAE доказывается, что FK=AK=ME;

5) Так как FE=GH, GM=MH и FK=FE, то AK=MC;

6) GH=GM+MH=MC+AK;

7) FGMK является прямоугольником, так как его стороны FK и GM

параллельны прямой BD, которая перпедикулярна прямой AC, отсюда

FG=KM;

8) Примем x за единичный отрезок, тогда:

GH=MC+AK=x и FG=KM=2x;

9) AC=MC+AK+KM=x+2x=3x;

3x=12, отсюда x=12/3=4 м;

10) FE=GH=4 м и EH=FG=2•4=8 м;

Ответ: 4 м и 8 м.