Условие:

75. В общем случае на окружности Эйлера лежат девять точек (середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника). Сколько различных точек из них лежит на окружности Эйлера в случае равностороннего треугольника?

Найти: сколько различных точек лежит на окружности Эйлера в случае

равностороннего треугольника;

Решение:

1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник;

2) Проведем высоты AA1, BB1 и CC1, они являются также и медианами,

следовательно точки A1, B1 и C1 одновременно являются и основаниями

высот и серединами сторон треугольника ABC;

3) Отметим точку H на пересечении высот, она является ортоцентром

треугольника ABC;

4) Отметим точки A2, B2, H2-середины отрезков AH, BH и CH;

5) Так как высоты уже пересекаются в точке H, то эти точки отличны

друг от друга;

6) Таким образом, на окружности Эйлера лежат шесть различных точек:

A1, A2, B1, B2, C1, C2;

Ответ: шесть.