Условие:

74. 1) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

2) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать: 1) Любые две медианы треугольника в точке их пересечения

делятся в отношении 2:1; 2) Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке;

Доказательство:

1) Проведем в треугольнике ABC медианы AA1 и BB1, пересекающиеся

в точке M;

2) Пусть PQ-средняя линия треугольника AMB, параллельная

стороне AB;

3) Четырехугольник A1 B1 PQ-параллелограмм, так как A1 B1 ||PQ и

A1 B1=PQ (как среднии линии ACB и AMB с общим основанием AB);

4) Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся

пополам, то A1 M=MP;

5) Точка P-середина отрезка AM (по построению), значит:

AP=PM=A1 M;

6) Таким образом, точка M пересечения медиан делит медиану AA1 в

отношении 2:1, считая от вершины A;

7) Медиану BB1 точка M делит в таком же отношении (BQ=QM=MB1);

8) Из этого следует, что медиана, проведенная из вершины C, также

проходит через точку M и делится ею в отношении 2:1, то есть все три

медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отошении 2:1, что и требовалось доказать.

Развернуть