Условие:

20. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.

Доказать: расстояние между двумя точками на сторонах треугольника

не больше большей из его сторон;

Доказательство:

1) Пусть ABC-данный треугольник, с большей стороной AC, а

точки X и D лежат на его сторонах;

2) Если точки X и D лежат на одной стороне, то доказываемое утверж-

дение очевидно, так как наибольшее расстояние между ними может

быть равно AC (если точки X и D совпадают с точками A и C);

3) Пусть точка X лежит на стороне AB, а точка D лежит на стороне CB;

4) Рассмотрим треугольник CXB:

По доказанному в задаче 7.19: (1) XD< div>

5) Так как точка X лежит на отрезке AB, то XB< div>

выполняется неравенство XD< div>

6) Рассмотрим треугольник ABC:

По доказанному в задаче 7.19: CX< div>

случае отрезок CX меньше наибольшей стороны треугольника;

7) Следовательно в случае (2) выполняется неравенство XD< div>

8) Таким образом, расстояние между двумя точками на сторонах

треугольника не больше большей из его сторон, что и требовалось

Доказать.

Развернуть