Условие:

20. Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 210).

Доказать: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей

прямоугольника, параллельно его сторонам, являются его осями

симметрии;

Доказательство:

1) Пусть ABCD-прямоугольник и O-точка пересечения диагоналей,

прямые MN и EF проходят через точку O параллельно сторонам ABCD,

значит эти прямые перпендикулярны двум другим сторонам и друг

другу;

2) Треугольники AOB и COD-равнобедренные (AO=OB=OC=OD),

а отрезки EO и OF их высоты, значит они являются и медианами, тогда:

AE=BE=CF=FD=1/2 AB;

3) Так как в параллелограммах BMEO и ANOE соседние стороны

перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда:

MO=BE=AE=ON;

4) Возьмем произвольную точку X на стороне BC, опустим из нее

перпендикуляр XO1 на прямую EF и отметим точку X' на пересечении

этого перпендикуляра и стороны AD;

5) Так как в параллелограммах MXO1 O и NX' O1 O соседние стороны

перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда:

XO1=MO=ON=O1 X';

6) Таким образом, точки X и X' симметричны относительно прямой EF,

а так как точка X произвольная точка отрезка BC, то отрезки BC и AD

симметричны относительно прямой EF;

7) Любая точка отрезка AB симметрична какой-нибудь другой точке

этого отрезка отсносительно EF, так как AB перпендикулярен EF, а расстояния от этих

точек до точки F меньше, чем расстояния от точек A или B до точки F;

8) Аналогично, любая точка отрезка CD симметрична какой-нибудь

другой точке этого отрезка отсносительно EF

9) Таким образом, прямая EF является осью симметрии ABCD, аналогично

доказывается и для прямой MN.

Развернуть