Условие:

6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.

Доказать: равные векторы одинаково направлены и равны по

абсолютной величине и обратно: одинаково направленные векторы,

равные по абсолютной величине, равны;

Доказательство:

1) Пусть векторы (AB) и (CD) равны, значит существует параллельный

перенос вектора (AB) при котором точка A совпадает с точкой C, а точка B

совпадает с точкой D;

2) Точки A и B перемещяются одним параллельным переносом, значит:

AC||BD и AC=BD;

3) Тогда четырехугольник ABDC является параллелограммом, отсюда:

AB||CD и AB=CD;

4) Так как AB=CD, то модули векторов (AB) и (CD) равны;

5) Прямые AB и CD параллельны, а точки B и D находятся по одну

сторону от секущей AC, значит лучи AB и CD одинаково направленны

(задача 9.32), следовательно и векторы (AB) и (CD) одинаково направлены,

что и требовалось доказать.

6) Обратно: пусть (AB) и (CD) -одинаково направленные векторы, равные

по абсолютной величине;

7) Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает

полупрямую CD с полупрямой AB (так как они одинаково направлены);

8) Длины отрезков AB и CD равны, значит при этом точка D совмещается

с точкой B;

9) Таким образом, такой параллельный перенос переводит вектор (CD) в

вектор (AB), следовательно эти векторы равны, что и требовалось доказать.

Развернуть