Условие:

9. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.

Доказать: равные векторы имеют соответственно равные координаты,

а векторы с соответственно равными координатами равны;

Доказательство:

1) Пусть точки A1 (x1; x2) и A2 (x2; y2)-начало и конец вектора a;

2) Так как равный ему вектор a' получается из вектора a параллельным

переносом, то его началом и концом будут точки:

A1' (x1+c; y1+d) и A2' (x2+c; y2+d)-соответственно;

3) Координаты вектора a равны:

a1=x2-x1 и a2=y2-y1;

4) Координаты вектора (a') равны:

a1=x2+c-(x1+c)=x2+c-x1-c=x2-x1;

a2=y2+d-(y1+d)=y2+d-y1-d=y2-y1;

5) Таким образом, координаты векторов a и a' равны, что и требовалось

Доказать;

6) Обратно: пусть соответствующие координаты векторов (A1 A2) и (A1' A2')

равны, докажем, что эти векторы равны;

7) Пусть x1' и y1'-координаты точки A1', а x2' и y2'-координаты точки A2';

8) По условию теоремы: x2-x1=x2'-x1' и y2-y1=y2'-y1';

9) Отсюда следует, что: x2'=x2+x1'-x1 и y2'=y2+y1'-y1;

10) Параллельный перенос, заданный формулами:

x'=x+x1'-x1 и y'=y+y1'-y1

переводит точку A1 в точку A1', а точку A2 в точку A2', то есть векторы

(A1 A2) и (A1' A2') равны, что и требовалось доказать.

Развернуть