Условие:

46 Биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине С пересекает прямую АВ в точке D (рис. 263). Докажите, что AD : BD = АС : ВС.

Дано: биссектриса внешнего угла треугольник ABC при вершине C пересекает

прямую AB в точке D;

Доказать: AD:BD=AC:BC;

Доказательство:

1) На луче AC за точкой C отметим точку F;

2) Через точку B проведем прямую, параллельную прямой DC и

пересекающую прямую AC в точке E;

3) Рассмотрим параллельные прямые DC и BE:

угол BEC = углу DCF (как соответственные углы при секущей AC);

угол EBC = углу DCB (как внутренние накрест лежащие углы при секущей BC);

4) CD-биссектриса угла BCF, значит:

угол DCF = углу DCB, тогда угол EBC = углу BEC;

5) Треугольник BCE-равнобедренный с основанием BE, тогда:

BC=CE;

6) По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных

прямых DC и BE и угла A:

AD/BD=AC/CE => AD/BD=AC/BC, что и требовалось доказать.

Развернуть