Условие:

33. Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм. Точка касания делит её боковую сторону в отношении 9:4. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано: равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм;

точка касания делит боковую сторону в отношении 9:4;

Найти: среднюю линию трапеции;

Решение:

1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция с основаниями AD и BC,

стороны которой равны: AD=a, BC=b и AB=CD=c;

2) По свойству описанного четырехугольника:

AD+BC=AB+CD, то есть a+b=2c;

3) По теореме 6.8 средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

(AD+BC)/2=(a+b)/2=2c/2=c, то есть в данном случае боковой стороне;

4) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую AB:

угол B=180°- угол A (как внутренние односторонние углы);

5) Отметим точку O-центр вписанной в трапецию ABCD окружности,

так как центр окружности равноудален от всех сторон описанного

четырехугольника, то точка O лежит на пересечении биссектрис данной

трапеции, значит: OA-биссектриса угла A и OB биссектриса угла B;

6) Пусть угол A=Альфа, тогда угол B=180°-Альфа;

7) Рассмотрим треугольник BOA:

угол BAO=1/2 угол A=Альфа/2 и угол ABO=1/2 угол B=90°-Альфа/2;

угол AOB=180°- угол BAO- угол ABO=180°-Альфа/2-90°+Альфа/2=90°;

8) Опустим из точки O перпендикуляр OE на сторону AB, тогда:

OE=r=12 дм и AE:BE=9:4;

9) Пусть одна часть боковой стороны равна x, тогда: AE=9x и BE=4 x;

10) В прямоугольном треугольнике BOA отрезок OE является высотой,

опущенной на гипотенузу, значит согласно доказанному в контрольном

вопросе 11 параграфа 11 он является средним пропорциональным между

проекциями катетов OA и OB на гипотенузу AB.

11) Найдем длину средней линии

Развернуть