Условие:

48. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD (рис. 29).

Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке E;

Доказать: отрезок AC не пересекает прямую BD;

Доказательство:

1) Прямая BD делит плоскость на две полуплоскости m и n;

2) Допустим, что отрезок AC пересекает прямую BD, тогда точка

A лежит в плоскости m, а точка C в плоскости n;

3) Отрезок AB пересекает прямую BD в точке B, значит все точки

отрезка AB в том числе и точка E лежат в полуплоскости m;

4) Отрезок CD пересекает прямую BD в точке D, значит все точки

отрезка CD в том числе и точка E лежат в полуплоскости n;

5) Но одна точка не может лежать в разных полуплоскостях, а

отрезки не могут пересекаться в двух разных точках, следовательно

допущение не верно и отрезок AC не пересекает прямую BD, что и

требовалось доказать.

Развернуть