Условие:

47. Дан треугольник ABC. На стороне АС взята точка В1, а на стороне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются (рис. 28).

Дано: треугольник ABC; B1 принадлежит AC и A1 принадлежит BC;

Доказать: отрезки AA1 и BB1 пересекаются;

Доказательство:

1) Прямая BB1 пересекает отрезок AC в точке B1, значит точки A и C

лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BB1;

2) Прямые BC и BB1 пересекаются в точке B;

3) Точка A1 принадлежит отрезку BC;

4) Так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то точки

C и A1 лежат в одной полуплоскости относительно прямой BB1;

5) Точки A и A1 лежат в разных полуплоскостях, значит отрезок AA1

пересекает прямую BB1;

6) Аналогично для отрезка BB1 и прямой AA1, значит отрезки AA1 и

BB1 пересекаются, что и требовалось доказать.

Развернуть