Условие:

15. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на данную прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС, равный отрезку АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности.

2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.

3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.

I) Отобразим услоие задачи:

Дано: через точку A окружности проведена прямая, не касающаяся

окружности, OB-перпендикуляр, опущенный на данную прямую,

на продолжении AB отложен отрезок BC=AB;

Доказать: точка C лежит на окружности;

Доказательство:

1) Отрезок OB перпендикулярен отрезку AC, значит он является

высотой треугольника AOC;

2) AB=BC, значит отрезок OB является медианой треугольника AOC;

3) Так как в треугольнике AOC высота и медиана совпадают, то он

является равнобедренным, значит AO=OC;

4) Точка C удалена от центра окружности также, как и точка A,

лежащая на окружности, значит точка C также лежит на окружности,

что и требовалось доказать.

II)

Доказать: если прямая имеет с окружностью только одну общую точку,

то она является касательной к окружности в этой точке;

Доказательство:

1) Пусть дана окружность с центром в точке O и прямая, которая имеет с

окружностью общую точку A;

2) Допустим, что прямая не является касательной к окружности, значит

они не перпендикулярны, тогда к ней можно провести перпендикуляр OB,

не совпадающий с отрезком OA, а на продолжении отрезка AB отложить

отрезок BC=AB;

3) Тогда согласно пункту I этой задачи, прямая имеет с окружностью еще

одну общую точку C, что противоречит условию задачи, следовательно

предположение неверно и прямая является касательной к окружности в

точке A, что и требовалось доказать.

III) Отобразим условие задачи.

Доказать: если две окружности имеют только одну общую точку, то они

касаются в этой точке;

Доказательство:

1) Пусть окружности с центрами в точках O и O1 имеют общую точку A;

2) Допустим, что точки O, A и O1 не лежат на одной прямой, тогда можно

построить треугольник OA1 O1, так чтобы точки A и A1 лежали по разные

стороны от прямой OO1;

3) Так как треугольник OA1 O1=треугольник OAO1, то OA1=OA и O1 A1=O1 A, то есть точка A1

лежит на обеих окружностях, то есть является их пересечением, что

противоречит условию задачи, значит допущение неверно и точки

O, A и O1 лежат на одной прямой;

4) Тогда к прямой OO1 в точке A можно построить перпендикулярную

прямую, то есть общую касательную к обеим окружностям, значит

данные окружности касаются в точке A, что и требовалось доказать.