Условие:

18. Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то: 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный.

Доказать: если у треугольника есть ось симметрии, то 1) она проходит

через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный;

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC с осью симметрии a и вершина A при

преобразовании симметрии относительно прямой a переходит в

вершину B;

I) Докажем, что a проходит через вершну C:

1) Допустим, что прямая a не проходит ни через одну из вершин треугольник ABC;

2) Если точка A прямой a переходит в точку B, то прямая a является

серединным перпендикуляром к отрезку AB;

3) Точка C переходит в какую-нибудь точку C' треугольника ABC;

4) CC' перпендикулярен a и AB перпендикулярен a, следовательно CC' ||AB;

5) Так как точка C не лежит на прямой AB, то и точка C' не лежит на

этой прямой (так как AB перпендикулярен a), значит точка C' лежит на одной из

сторон AC или BC;

6) То есть у треугольника ABC две стороны параллельны, что невозможно,

следовательно наше предположение неверно и ось симметрии a проходит

через вершину C (тогда она переходит в саму себя), что и требовалось

Доказать.

II) Докажем, что треугольник ABC-равнобедренный:

1) Прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку AB,

пусть O-точка их пересечения, тогда: AO=OB и CO перпендикулярен AB;

2) Отрезок CO является медианой и высотой треугольника ABC, значит

этот треугольник равнобедренный с основанием AB, что и требовалось

Доказать.

Развернуть