Условие:

35. Четыре населённых пункта расположены в вершинах параллелограмма. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных пунктов была наименьшей?

Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах

параллелограмма;

Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний

от нее до всех данных пунктов была наименьшей;

Решение:

1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D

параллелограмма ABCD;

2) Отметим точку O-середину параллелограмма ABCD, то есть центр

его симметрии;

3) Согласно задаче 9.8 точка O является точкой пересечения диагоналей;

4) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD;

5) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O;

6) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC>AC;

7) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD>BD;

8) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет

выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в

любом случае: XA+XB+XC+XD>AC+BD;

9) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X

больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая;

Ответ: в центре параллелограмма.

Развернуть