Условие:

40. По одну сторону от железной дороги расположены два населённых пункта. В каком месте следует построить железнодорожную платформу данной длины, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов была наименьшей? (Два случая.)

Дано: по одну сторону от железной дороги расположены два

населенных пункта A и B;

Найти: в каком месте следует построить железнодорожную платформу

данной длины, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов

была наименьшей;

Решение:

Пусть отрезок M1 M2 равен длине железнодорожной платформы;

Опустим из точек A и B перпендикуляры A' и B' на железную дорогу;

I) Рассмотрим случай, когда M1 M2< div>

1) Переместим точку A в точку A1 по прямой, параллельной железной

дорогеб, на расстояние M1 M2 в сторону точки B;

2) На продолжении перпендикуляра BB' отложим отрезок B' B1;

3) На пересечении прямой A1 B1 и железной дороги отметим точку M2;

4) На железной дороге от точки M2 отложим отрезок M2 M1 в сторону

точки A';

5) Четырехугольник AA1 M2 M1 является параллелограммом, так как

AA1 ||M1 M2 и AA1=M1 M2, отсюда A1 M2=AM1;

6) Треугольник BB1 M2-равнобедренный, так как у него высота M2 B'

является еще и медианой, отсюда: B1 M2=M2 B;

7) AM1+M2 B=A1 M2+M2 B1=A1 B1, следовательно длины отрезков

AM1 и M2 B-минимальны.

II) Рассмотрим случай, когда M1 M2?A' B':

1) В данном случае платформу следует расположить любым образом

так, чтобы отрезок A' B' лежал внутри отрезка M1 M2;

2) Расстояние между точкой A и отрезком M1 M2 будет равно длине

перпендикуляра AA', а расстояние между точкой B и M1 M2-длине

перпендикуляра BB';

3) Так как длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой,

является расстоянием между ними, то длины отрезков AA' и BB'-

минимальны.