Условие:

37. Для снабжения водой двух населённых пунктов, расположенных по одну сторону канала, надо построить на его берегу водонапорную башню. Где должна находиться башня, чтобы суммарная длина труб от неё до населённых пунктов (по прямой) была наименьшей?

Дано: два населенных пункта находятся по одну сторону канала;

Найти: где на берегу канала должна находиться водонапорная башня,

чтобы сумма растояний от нее до этих пунктов была наименьшей;

Решение:

1) Выразим данный канал через прямую a, а населенные пункты через

точки A и B;

2) Отметим точку B' симметричную точке B относительно прямой a;

3) Пусть отрезок BB' пересекает прямую a в точке M, тогда:

BM=MB' и BB' перпендикулярен a;

4) Проведем прямую AB', она пересечет прямую a в точке O;

5) Прямоугольные треугольники BMO и B' MO равны по двум катетам,

отсюда: BO=OB';

6) AO+OB=AO+OB'=AB';

7) Отметим на прямой a произвольную точку X, не совпадающую с O;

8) По неравенству треугольника для треугольник AXB': AX+XB'>AB';

9) Таким образом, сумма расстояний от точки O до точек A и B минимальна,

значит эта точка-место, в котором следует расположить башню;