Условие:

23. На стороне АВ треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: АС или ВС.

Дано: треугольник ABC; точка D лежит на стороне AB;

Доказать: CD меньше по крайней мере одной из сторон AC или BC;

Доказательство:

1) Если один из углов A или B тупой, то по доказанному в задаче 12.21:

CD< div>

2) Рассмотрим случай, когда углы A и B острые;

3) Из точки C опустим перпендикуляр CH на прямую AB;

4) Углы A и B острые, значит смежные с ними углы тупые, отсюда

следует, что точка C лежит между точками A и B, так как иначе в одном

из треугольников ACH или BCH был бы только один острый угол, что

невозможно;

5) Точки D и H лежат между точками A и B, значит:

AH=AD+DH или BH=BD+DH, следовательно отрезок DH меньше

по крайней мере одного из отрезков AH или BH;

6) AH-проекция наклонной AC, HB-проекция наклонной CB и

DH-проекция наклонной CD на прямую AB, значит по теореме о

наклонных, проведенных из одной точки, и их проекциях:

CD< div>

Развернуть