Условие:

54. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга? (Большим кругом называется сечение шара плоскостью, проходящей через его центр.)

Дано: через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему

плоскость;

Найти: отношение площади полученного сечения к площади большого

круга;

Решение:

1) Любое сечение шара является кругом;

2) Пусть O-центр данного шара и O1-центр сечения;

3) Проведем диаметр AB окружности сечения и радиус AC шара, тогда

по условию задачи:

OO1 перпендикулярен AB, AO1=O1 B=r-радиус круга сечения;

OA=OC=R-радиус шара и OO1=1/2 OC=R/2;

4) В прямоугольном треугольнике OO1 A по теореме Пифагора:

r^2=AO1^2=OA^2-OO1^2=R^2-(R/2)^2=R^2-R^2/4=(3R^2)/4;

5) Радиусом большого круга является радиус шара;

6) Найдем отношение площади сечения к площади большого круга:

S1/S=(Пиr^2)/(ПиR^2 )=r^2/R^2 =(3R^2)/4 :R^2=3/4;

Ответ: 3:4.