Условие:

32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 144). Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?

Дано: в равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямо-

угольник так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие

вершины-на катетах; стороны прямоугольника относятся как 5:2, а

гипотенуза треугольника равна 45 см;

Найти: стороны прямоугольника;

Решение:

1) Пусть ABC-данный треугольник, у которого угол B=90°, AB=BC и

AC=45 см, а FEA1 C1-вписанный в него прямоугольник;

2) Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то:

угол A = углу C=(180°-90°)/2=45°;

3) FEA1 C1-прямоугольник, значит: C1 F перпендикулярен FE и A1 E перпендикулярен EF;

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AFC1:

угол F=90° и угол A=45°, значит угол C1=90°-45°=45°, следовательно

этот треугольник равноберенный, отсюда AF=FC1;

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CEA1:

угол E=90° и угол C=45°, значит угол A1=90°-45°=45°, следовательно

этот треугольник равноберенный, отсюда CE=EA1;

6) Примем единичный отрезок за x, тогда стороны FEA1 C1 равны:

C1 F=EA1=2x и C1 A1=FE=5x;

7) AC=AF+FE+EC=C1 F+FE+EA1=2x+5x+2x=9x;

9x=45, отсюда x=45/9=5 см;

8) C1 F=EA1=2•5=10 см и C1 A1=FE=5•5=25 см;

Ответ: 10 см и 25 см.