Условие:

57. У четырёхугольника диагонали равны а и b. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Найти: периметр четырехугольнка, вершинами которого являются

середины сторон данного четырехугольника, диагонали которого

равны a и b;

Решение:

1) Пусть ABCD-данный четырехугольник и E, F, G, H-середины его

сторон, а диагонали равны: AC=a и BD=b;

2) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда:

EF||AC и EF=1/2 AC=1/2•a;

3) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда:

FG||BD и FG=1/2 BD=1/2•b;

4) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, отсюда

следует, что EH=FG и EF=HG;

5) PEFGH=2•(1/2 a+1/2 b)=a+b;

Ответ: a+b.

Развернуть