Условие:

58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказать: середины сторон прямоугольника являются вершинами

ромба;

Доказательство:

1) Пусть ABCD-данный прямоугольник и E, F, G, H-середины его

сторон;

2) По свойству прямоугольника: AC=BD;

3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда:

EF||AC и EF=1/2 AC;

4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда:

FG||BD и FG=1/2 BD;

5) Так как AC=BD, то EF=FG;

6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, отсюда

следует, что EH=FG=EF=HG;

7) Таким образом, у параллелограмма EFGH все стороны равны, значит

он является ромбом, что и требовалось доказать.

Доказать: середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABCD-данный ромб и E, F, G, H-середины его сторон;

2) По свойству ромба: AC перпендикулярен BD;

3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда: EF||AC;

4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда: FG||BD;

5) Так как AC перпендикулярен BD, то EF перпендикулярен FG;

6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, а так как

оин из его углов прямой, то он является прямоугольником (задача 25),

что и требовалось доказать.

Развернуть