Условие:

28. Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
Выразить: сторону b правильного описанного многоугольника, через
радиус R окружности и сторону a правильного вписанного многоуголь-
ника с тем же числом сторон;
Решение:
1) Так как один многоугольник вписан в ту же окружность, около
которой описан второй многоугольник, то эти многоугольники имеют
общий центр (центр этой окружности), обозначим его как точку O;
2) Пусть отрезок A1 B1=a-сторона вписанного многоугольника, а
отрезок A2 B2=b-сторона описанного многоугольника;
3) OA1=OB1=R и OA2=OB2 (так как O центр многоугольников);
4) Данные многоугольники правильные и имеют одинаковое число
сторон, значит их центральные углы равны: угол A1 OB1 = углу A2 OB2;
5) Опустим перпендикуляр OH1 на отрезок A1 B1 и перпендикуляр OH2
на отрезок A2 B2;
6) Отрезок OH2 перпендикулярен стороне описанного многоугольника,
значит по свойству касательной и радиуса, он является радисом данной
окружности: OH2=R;
7) Треугольник OA1 B1-равнобедренный с основанием A1 B1, значит его
высота OH1 является медианой и биссектрисой, тогда:
A1 H1=1/2 A1 B1=a/2 и угол A1 OH1=1/2 угол A1 OB1;
8) Треугольник OA2 B2-равнобедренный с основанием A2 B2, значит
его высота OH2 является медианой и биссектрисой, тогда:
A2 B2=2A2 H2 и угол A2 OH2=1/2 угол A2 OB2;
9) В прямоугольном треугольнике OH1 A1 по теореме Пифагора.

Решение - 28 - Задачи §13 Многоугольники:

Решение 1