Условие:

29. Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.

Выразить: сторону a правильного вписанного многоугольника, через

радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоуголь-

ника с тем же числом сторон;

Решение:

1) Так как один многоугольник вписан в ту же окружность, около

которой описан второй многоугольник, то эти многоугольники имеют

общий центр (центр этой окружности), обозначим его как точку O;

2) Пусть отрезок A1 B1=a-сторона вписанного многоугольника, а

отрезок A2 B2=b-сторона описанного многоугольника;

3) OA1=OB1=R и OA2=OB2 (так как O центр многоугольников);

4) Данные многоугольники правильные и имеют одинаковое число

сторон, значит их центрльные углы равны: угол A1 OB1 = углу A2 OB2;

5) Опустим перпендикуляр OH1 на отрезок A1 B1 и перпендикуляр OH2

на отрезок A2 B2;

6) Отрезок OH2 перпендикулярен стороне описанного многоугольника,

значит по свойству касательной и радиуса, он является радисом данной

окружности: OH2=R;

7) Треугольник OA2 B2-равнобедренный с основанием A2 B2, значит

его высота OH2 является медианой и биссектрисой, тогда:

A2 H2=1/2 A2 B2=b/2 и угол A2 OH2=1/2 угол A2 OB2;

8) Треугольник OA1 B1-равнобедренный с основанием A1 B1, значит

его высота OH1 является медианой и биссектрисой, тогда:

A1 H1=1/2 A1 B1=a/2 и угол A1 OH1=1/2 угол A1 OB1;

9) В прямоугольном треугольнике OH1 A1 по теореме Пифагора:

OH1=v(OA1^2-A1 H1^2)=v(R^2-(a/2)^2)=v(R^2-a^2/4);

10) Прямоугольные треугольники OH1 A1 и OH2 A2 подобны по острому

углу (угол A1 OH1 = углу A2 OH2)

Развернуть