Условие:

8. Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Доказать: правильный многоугольник является вписанным в

окружность и описанным около окружности;

Доказательство:

1) Пусть A и B-две соседние вершины правильного многоугольника;

2) Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B, они

пересекутся в некоторой точке O;

3) Треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB и углами при

основании, равными a/2, где a- угол многоугольника;

4) Соединим точку O с вершиной C, соседней с B;

5) Рассмотрим треугольники ABO и CBO:

AB=CB (как стороны правильного многоугольника), OB-общая

сторона, а углы при вершине B равны a/2, значит эти треугольники равны

по первому признаку, отсюда следует что:

Треугольник CBO-равнобедренный с углом при вершине C, равным a/2, то есть

CO-биссектриса угла C многоугольника;

6) Теперь соединим точку O с вершиной D, соседней с C, аналогично

доказывается, что треугольник COD-равнобедренный и

DO-биссектриса угла D многоугольника;

7) В итогу получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона

есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина-точка O,

является равнобедренным и равным другим таким треугольникам;

8) Проведем высоты OH1, OH2, OH3… этих треугольников, они будут

равны как катеты равных прямоугольных треугольников с одинаковыми

гипотенузами и острыми углами;

9) Таким образом, все вершины треугольника находятся на окружности

с центром O и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все

стороны многоугольника касаются окружности с центром O и радиусом,

равным высотам треугольников, опущенным из вершины O, что и

требовалось доказать.

Развернуть