Условие:

29. Известно, что диагонали четырёхугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника.

Доказать: сумма длин диагоналей четырехугольника меньше периметра,

но больше полупериметра четырехугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, диагонали AC и BD которого

пересекаются в точке O;

2) Согласно неравенству треугольника:

В треугольнике ABC: AC< div>

В треугольнике ADC: AC< div>

В треугольнике ABD: BD< div>

В треугольнике CBD: BD< div>

3) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:

2(AC+BD)<2(AB+BC+CD+AD), отсюда AC+BD

< div>

4) Согласно неравенству треугольника:

В треугольнике AOB: AB< div>

В треугольнике BOC: BC< div>

В треугольнике COD: CD< div>

В треугольнике DOA: AD< div>

5) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:

AB+BC+CD+AD<2(OA+OC)+2(OB+OD), отсюда P<2(AC+BD);

6) Разделим обе части выражения на 2, получим: AC+BD>P/2;

7) Таким образом: P/2

< div>

Развернуть